费马大定理,集惊险与武侠于一体

娱乐        2019-11-08   来源:飞猫鱼电影


算法数学之美

日期:2018年12月17日

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来源: 读库(中科院物理所)



悬案


费马大定理从提出到证明的过程,就是一部不折不扣的惊险小说。


一个读者,在自己看过的书空白处留下附注。除了他自己,还有谁会关注呢?


但是,法国人费马死后,他在一本《算术》书上所写的注记并没有随之湮没。其长子意识到那些草草的字迹也许有价值,就用五年时间整理,然后印出一个特殊的《算术》版本,载有他父亲所做的边注,那里面包含了一系列的定理。


在靠近问题8的页边处,费马写着这么几句话:

“不可能将一个立方数写成两个立方数之和;或者将一个4次幂写成两个4次幂之和;或者,总的来说,不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。”

这个喜欢恶作剧的天才,又在后面写下一个附加的评注:


“我有一个对这个命题的十分美妙的证明,这里空白太小,写不下。”


费马写下这几行字大约是在1637年,这些被侥幸发现的蛛丝马迹成了其后所有数学家的不幸。

一个高中生就可以理解的定理,成了数学界最大的悬案,从此将那些世界上最聪明的头脑整整折磨了三百五十八年。

一代又一代的数学天才前赴后继,向这一猜想发起挑战。


欧拉,十八世纪最伟大的数学家之一,在那本特殊版本的《算术》中别的地方,他发现了费马隐蔽地描述了对4次幂的一个证明。欧拉将这个含糊不清的证明从细节上加以完善,并证明了3次幂的无解。


但在他的突破之后,仍然有无数多次幂需要证明。


等到索非·热尔曼、勒让德、狄利克雷、加布里尔·拉梅等几个法国人再次取得突破时,距离费马写下那个定理已经过去了将近二百年,而他们才仅仅又证明了5次幂和7次幂。


事实上拉梅已经宣布他差不多就要证明费马大定理了,另一位数学家柯西也紧随其后说要发表一个完整的证明。

然而,一封来信粉碎了他们的信心,德国数学家库默尔看出这两个法国人正在走向同一条逻辑的死胡同。


在让两位数学家感到羞耻的同时,库默尔也证明了费马大定理的完整证明是当时的数学方法不可能实现的。这是数学逻辑的光辉一页,也是对整整一代数学家的巨大打击。


二十世纪,数学开始转向各种不同的研究领域并取得非凡进步。1908年,德国实业家沃尔夫斯凯尔为未来可能攻克费马大定理的人设立了奖金,但是,一位不出名的数学家却似乎毁灭了大家的希望。

库特·哥德尔提出不可判定性定理,对费马大定理进行了残酷的表达——这个命题没有任何证明。


尽管有哥德尔致命的警告,尽管经受了三个世纪壮烈的失败,但一些数学家仍然冒着白白浪费生命的风险,继续投身于这个问题。二战后随着计算机的出现,大量的计算已不再成为问题。

借助计算机的帮助,数学家们对500以内,然后在1000以内,再是10000以内的值证明了费马大定理,到八十年代,这个范围提高到25000,然后是400万以内。


但是,这种成功仅仅是表面的,即使那个范围再提高,也永远不能证明到无穷,不能宣称证明了整个定理


破案似乎遥遥无期。


最后的英雄已经出现。


安德鲁·怀尔斯

1963年,年仅十岁的安德鲁·怀尔斯在一本名叫《大问题》的书中邂逅费马大定理,便知道自己不会放弃它,必须解决它。

七十年代,他正在剑桥大学研究椭圆方程,看来跟费马大定理没什么关系。


此时,两位日本数学家已经提出谷山-志村猜想,将怀尔斯正在研究的椭圆方程与模形式统一在一起。看来也跟费马大定理没什么关系。


八十年代,几位数学家将十七世纪最重要的问题与二十世纪最有意义的问题结合在一起,找出了证明费马大定理的钥匙:只要能证明谷山-志村猜想,就自动证明了费马大定理


曙光在前,但并没有人对黎明的到来抱有信心,谷山-志村猜想已经被研究了三十年,都以失败告终,如今与费马大定理联系在一起,更是连最后的希望都没有了,因为,任何可能导致解决费马大定理的事情根据定义是根本不可能实现的。这几乎已成定论。


就连发现钥匙的关键人物肯·里贝特也很悲观:“我没有真的费神去试图证明它,甚至没有想到过要去试一下。”

大多数其他数学家,包括安德鲁·怀尔斯的导师约翰·科茨,都相信做这个证明会劳而无功:“我必须承认我认为在我有生之年大概是不可能看到它被证明了。”


除了安德鲁·怀尔斯。


曾经有人问伟大的逻辑学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理,他回答说:“我没有那么多时间去浪费在一件可能会失败的事情上。”


但安德鲁·怀尔斯会。他意识到自己的机会不大,但即使最终没能证明费马大定理,他也觉得自己的努力不会白费。

他花了十八个月的时间为将来的战斗收集必要的武器,然后得出全面估计:任何对这个证明的认真尝试,很可能需要十年专心致志的努力。


怀尔斯放弃了所有与证明费马大定理无直接关系的工作,在完全保密的状态下,展开了一个人对这个困扰世间智者三百多年谜团的孤独挑战,妻子是唯一知道他在从事费马问题研究的人。


七年过去。


1993年6月23日,剑桥牛顿研究所,安德鲁·怀尔斯开始了本世纪最重要的一次数学讲座。

现场的两百名数学家被惊呆了,他们看到的是,三百多年来第一次,费马的挑战被征服。

怀尔斯写上费马大定理的结论,然后转向听众,平和地说:“我想我就在这里结束。”


会场上爆发出一阵持久的掌声。第二天,数学家第一次占据了报纸的头版头条。

《人物》杂志将他与黛安娜王妃、奥普拉一起列为“本年度二十五位最具魅力者”之一,一家时装公司则请这位温文尔雅的天才为他们的新系列男装做了广告。


但事情并没有在这里结束,接下来的发展依然像惊险小说一样,悬案得破,但案犯并不轻易束手就擒。


怀尔斯长达二百页的手稿投交到《数学发明》杂志,开始了庞杂的审稿过程。这是一个特大型的论证,由数以百计的数学计算通过数以千计的逻辑链环错综复杂地构造而成。

只要有一个计算出差错或一个链环没衔接好,整个证明将失去其价值。


值得解决的问题会以反击来证明它自己的价值。在苛刻的审稿过程中,审稿人碰到了一个似乎是小问题的问题。

而这个问题的实质是,无法使怀尔斯像原来设想的那样保证某个方法行得通。他必须加强他的证明。


时间越耗越长,问题依然解决不了,全世界开始对怀尔斯产生怀疑。


十四个月过去。


他准备公开承认失败并发表一个证明有缺陷的声明。


在山穷水尽的最后时刻,1995年9月19日,他决定再检视一次,试图确切地判断出那个方法不能奏效的原因。


一个突然迸发的灵感使他的苦难走到了尽头:虽然那个方法不能完全行得通,但只需要可以使另一个他曾经放弃的理论奏效,正确答案就可以出现在废墟之中——两个分别不足以解决问题的方法结合在一起,就可以完美地互相补足。


足足有二十分钟,怀尔斯呆望着那个结果不敢相信,然后,是一种再也无事可做的巨大失落感。


一百年前,专为费马大定理而设的沃尔夫斯凯尔奖将截止日期定为2007年9月13日。就像所有的惊险片一样,炸弹在即将起爆的最后一刻,被拆除了。